Простейшая модель в теории коммуникационной сложности такова. Имеются два участника (компьютера или человека), которые совместно хотят решить некоторую задачу. Ни один из них самостоятельно решить задачу не может (например, у каждого из них недостаточно данных или ресурсов). Поэтому им необходимо общаться. Коммуникационная сложность измеряет минимально возможное количество битов, которым необходимо обменяться участникам, чтобы решить задачу. Время, необходимое для проведения локальных вычислений каждым из участников, не принимается во внимание — в этом принципиальное отличие от теории сложности вычислений.

Примерная программа

• Логарифмические верхние оценки коммуникационной сложности функций MED и CIS.

• Вероятностные протоколы с логарифмической и константной коммуникацией для предиката равенства.

• Связь детерминированной сложности с разбиением на одноцветные прямоугольники.

• Методы доказательства нижних оценок для разбиений и покрытий прямоугольниками.

• Теорема (Aho-Ullman-Yannakakis, Halstenberg-Reischuk) о квадратичной верхней оценке детерминированной сложности через недетерминированную

• Теорема Разборова о квадратичном разрыве между недетерминированной и детерминированной сложностями.

• Вероятностный протокол логарифмической сложности для GT (U. Feige, D. Peleg, P. Raghavan, and E. Upfal)

• Сравнение вероятностных сложностей с общими и приватными битами (теорема Ньюмана).

• Безошибочная вероятностная сложность предиката \(DISJ_{mk}\) (теорема Хостада-Вигдерсона).

• Пестрота. Линейная нижняя оценка вероятностной сложности предиката IP (Chor--Goldreich).

• Линейная нижняя оценка вероятностной сложности предиката DISJ (Kalyanasundaram--Schnitger, 1992; Razborov, 1992; Bar-Yossef--Jayram--Kumar, 2004; Braverman--Moitra, 2013)

• Информационная сложность протоколов, теорема о прямой сумме (Барак--Браверман--Чен--Рао).

• Сжатие протоколов (Барак--Браверман--Чен--Рао).

• Коммуникационная сложность отношений. Связь между формулами в базисе И, ИЛИ, НЕ и коммуникационной сложностью (Карчмер-Вигдерсон).

• Отношение FORK и нижняя оценка \(\Omega(\log l \log w)\) глубины коммуникационного протокола для него. Сверх-логарифмическая нижняя оценка глубины монотонных формул для булевой функции s-t-СВЯЗНОСТЬ с помощью отношения FORK.

Литература

Kushilevitz, E. and N. Nisan. Communication complexity. Cambridge University Press, 1997.

Rao A., Yehudayoff A. Communication complexity. A draft of a textbook https://www.dropbox.com/s/ni8j3mmq98cr4ur/book.pdf?dl=0