Внимание: курс планируется провести в гибридном формате.

• Лекции будут транслироваться в zoom (ссылка будет опубликована в новостях курса, её получат те, кто запишется на курс на сайте).

• Будет возможность очного участия с соблюдением противокодных мер. В связи с этим количество очных участников ограничено. Лекции планируется провести в БЦ Таймс (Кантемировская 2а, м. Лесная). Если вы хотите поучаствовать очно, то запишитесь, пожалуйста, в эту форму: https://forms.gle/eza9P1DTwYdvV12w9

Аннотация

Интуиционизм был основан Л.Э.Я Брауэром в начале XX века как направление в основаниях математики. Когда в канторовской теории множеств Расселом были обнаружены парадоксы, возник кризис оснований математики, который математики и логики пытались решить в рамках программы Гильберта, предполагавшей доказательство непротиворечивости математики финитными методами, что являлось в те дни центральной проблемой в математической логике. Брауэр, предлагая альтернативный путь, полагал, что мы не можем рассуждать о конечных и бесконечных объектах одним и тем же образом. Более того, интуиционизм Брауэра отклонял абстракцию актуальной бесконечности и теоремы чистого существования, а основным критерием истинности математического знания Брауэр называл интуицию. Отсюда и название “интуиционизм”.

После чего принципы интуиционистких рассуждений были формализованы Арендом Гейтингом, что положило начало одной из первых неклассических логик, интуиционистской логики. В дальнейшем интуиционисткая логика получила развитие в теории доказательств. Более того, интуиционисткая логика оказалась довольно тесно связанной c типизированным лямбда-исчислением. Таким образом, конструктивные логики также повлияли на теорию языков программирования и системы проверки доказательств.

В этом курсе мы базово изучим семантические аспекты интуиционистской логики. Мы изучим семантику Крипке, которая позволяет нам рассматривать интуиционистские логики как логики частичных порядков. Помимо самого исчисления Гейтинга мы в общих чертах рассмотрим расширения интуиционисткой логики, которые называются суперинтуиционисткими.

Логические формализмы также связаны с алгебраическими структурами. Например, классическая логика является логикой булевых алгебр. Интуиционистские логики можно аналогичным образом изучать методами универсальной алгебры. Мы изучим топологическую двойственность для алгебр Гейтинга и покажем, что любое непротиворечивое расширение интуиционистской логики является полным относительно усиленных шкал Крипке, которые называются обобщенными дескриптивными шкалами (general descriptive frames).

Литература

1. Bezhanishvili, Guram, and Wesley H. Holliday. A semantic hierarchy for intuitionistic logic. Indagationes Mathematicae 30, no. 3 (2019): 403-469.
2. Bezhanishvili, Nikoloz. Lattices of intermediate and cylindric modal logics. Institute for Logic, Language and Computation, 2006. (Chapter 1)
3. Chagrov, A., and M. Zakharyaschev. Modal logic. Oxford Logic Guides, 35. Oxford University Press, New York XVI, 1997.
4. Dummett, Michael. Elements of intuitionism. Vol. 39. Oxford University Press, 2000.
5. Esakia, Leo. Heyting algebras. Springer International Publishing, 2019.
6. Gabbay, Dov M., Dimitrij Skvortsov, and Valentin Shehtman. Quantification in nonclassical logic. Elsevier, 2009.
7. Goldblatt, Robert. Varieties of complex algebras. Annals of pure and applied logic 44.3 (1989): 173-242.
8. Litak, Tadeusz. A continuum of incomplete intermediate logics. Reports on Mathematical Logic 36, 2002.
9. ​​Sankappanavar, Hanamantagouda P., and Stanley Burris. A course in universal algebra. Graduate Texts Math 78, 1981.
10. Shehtman, Valentin Borisovich. On incomplete propositional logics. Doklady Akademii Nauk. Vol. 235. No. 3. Russian Academy of Sciences, 1977.
11. Верещагин, Н. К., и Шень, А. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 2. Языки и исчисления. Учебное пособие, 2013.
12. Драгалин, А. Г. Конструктивная теория доказательств и нестандартный анализ. УРСС, 2003.
13. Плиско, В. Е., и В. Х. Хаханян. Интуиционистская логика. Изд-во при мех.-мат. ф-те МГУ 159, 2009.